Égalité de deux complexes - Corrigé

Énoncé

Soit  `a` et `b`  deux nombres réels. On pose \(z_1=a+5i-i(b-4i)\) et \(z_2=3+i\) .

À quelle(s) condition(s) sur  `a` et  `b` les nombres  `z_1` et   `z_2` sont-ils égaux ?

Solution

On écrit  `z_1` sous forme algébrique :
\(\begin{align*} z_1 =a+5i-i(b-4i) =a+3i-ib-2 =(a-4)+i(5-b). \end{align*}\)

Par unicité de la forme algébrique, comme `z_2=3+i` , on en déduit que :
\(z_1=z_2 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a-4=3 \\ 5-b=1 \end{array} \right.\)  
donc  \(z_1=z_2 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} a=7 \\ b=4\end{array} \right.\)